Двухчастотное спиновое эхо

NQR-fig-7-1.jpg Рис.1. Уровни энергии ЯКР для спина ядра I=5/2.
Двухчастотное эхо возникает для полуцелого спина ядра $ I \ge 5/2 $ когда радиочастотный импульс одновременно возбуждает переходы на двух частотах. Для $ I=5/2 $ частоты переходов $ \pm 1/2\leftrightarrow \pm 3/2 $ и $ \pm 3/2 \leftrightarrow \pm 5/2 $ отличаются в два раза (см. Рис.1). Оператор радиочастотного поля, направленного вдоль оси $ x $ с заполнением на двух частотах ($ \omega_0 $ и $ 2\omega_0 $) имеет вид:

$ <br />
\hat{H_1}=-2\gamma\hbar H_1\hat{I_x}(\cos{\omega_0t}+\cos{2\omega_0t})<br />
 $

В случае одночастотного возбуждения имеем следующее выражение для сигнала эхо:

$$
\langle\hat{I_x}\rangle = A\sin{\alpha}\cdot\sin^2{\frac{\alpha}2}\cdot \sin{\omega_0(t-2\tau)}\cdot e^{-\frac{(t-2\tau)^2}{2T_2^2}}
$$

здесь

$ \alpha= \frac{\sqrt{8}}2\omega_1t_1 $ при $ \pm 1/2\leftrightarrow \pm 3/2 $;

$ \alpha= \frac{\sqrt{5}}2\omega_1t_1 $ при $ \pm 3/2\leftrightarrow \pm 5/2 $

Для двухчастотного возбуждения после первого импульса:

$$<br />
\langle\hat{I_x}\rangle = \left(A(\sin{2\alpha_1}-15\sin{\alpha_1}) \sin{\omega_0t} +<br />
B(\sin{2\alpha_1}+24\sin{\alpha_1}) \sin{2\omega_0t}\right)\cdot e^{-\frac{t^2}{2T_2^2}}<br />
$$

NQR-fig-7-2.jpg Рис.2. Сигналы двухчастотного эха для $ I=5/2 $. Стрелками показано направление смещения сигналов эха при $ \eta\ne 0 $.
Видно, что максимум амплитуды сигнала свободной индукции на разных частотах определяется разным значением угла поворота:

$ \omega_0 \ \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=97^o $

$ 2\omega_0 \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=85^o $

Аккуратное рассмотрение эволюции сигнала после подачи второго импульса показывает, что будут появляться сигналы эхо в момент времени отличные от $ 2\tau $:

$ \omega_0: \ \ \ 2\tau, \ 3\tau, \ 4\tau $

$ 2\omega_0: \ \ 2\tau, \ 3/2\tau, \ 5/2\tau $

Сигналы эхо, возникающие в моменты времени $ 3\tau $ и $ 3/2\tau $ называют дополнительными, а сигналы в моменты времени $ 4\tau $ и $ 5/2\tau $ - запрещёнными.

Основное эхо

Сигналы основного спинового эхо в момент времени $ 2\tau $ определяются выражениями:

$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{\omega_0,2\tau} = A(\sin{2\alpha_1}-15\sin{\alpha_1})
\sin^2{\alpha_2}\sin{\omega_0(t-2\tau)}\cdot e^{-\frac{(t-2\tau)^2}{2T_2^2}}
$$
$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{2\omega_0,2\tau} = B(\sin{2\alpha_1}+24\sin{\alpha_1})
\sin^2{\alpha_2}\sin{2\omega_0(t-2\tau)}\cdot e^{-\frac{(t-2\tau)^2}{2T_2^2}}
$$

Видно, что для обеих частот максимум сигнала эхо будет наблюдаться при одинаковых значениях $ \alpha_2 $:

$ \omega_0 \ \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=97^o, \ \ \alpha_2=90^o $

$ 2\omega_0 \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=85^o, \ \ \alpha_2=90^o $

Отметим, что в отличии от одночастотного эхо $ \alpha_2 \ne 2\alpha_1 $.

Дополнительное эхо

Сигналы дополнительного спинового эхо определяются выражениями:

$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{\omega_0,3\tau} =
A'(\sin{2\alpha_1}-15\sin{\alpha_1})(\cos{\alpha_2}-1)
\cos{\alpha_2}\sin{\omega_0(t-3\tau)}\cdot
e^{-\frac{(t-3\tau)^2}{2T_2^2}}
$$
$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{2\omega_0,3/2\tau} =
B'(\sin{2\alpha_1}+24\sin{\alpha_1}) (\cos{\alpha_2}-1)
\cos{\alpha_2}\sin{2\omega_0(t-3/2\tau)}\cdot
e^{-\frac{(t-3/2\tau)^2}{2T_2^2}}
$$

Максимум сигнала дополнительного эхо также будет наблюдаться при одинаковых значениях $ \alpha_2 $:

$ \omega_0 \ \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=97^o, \ \ \alpha_2=60^o $

$ 2\omega_0 \ \ \rightarrow \ \ \alpha_1=85^o, \ \ \alpha_2=60^o $

Запрещённое эхо

Сигналы запрещённого спинового эхо определяются выражениями:

$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{\omega_0,4\tau} = [2.66
\cos{\alpha_1}(\cos{\alpha_1}-1)+4.1 (\cos{\alpha_1}-1)
+0.585\sin^2{\alpha_1}](\cos{\alpha_2}-1)
\sin{\alpha_2}\sin{\omega_0(t-4\tau)}\cdot
e^{-\frac{(t-4\tau)^2}{2T_2^2}}
$$
$$
\langle\hat{I_x}\rangle_{2\omega_0,5/2\tau} = -0.63 \ [2.66
\cos{\alpha_1}(\cos{\alpha_1}-1)+4.1 (\cos{\alpha_1}-1)
+0.585\sin^2{\alpha_1}] (\cos{\alpha_2}-1)
\sin{\alpha_2}\sin{2\omega_0(t-5/2\tau)}\cdot
e^{-\frac{(t-5/2\tau)^2}{2T_2^2}}
$$

Максимум сигнала наблюдается при $ \alpha_2 = 120^o $.

Обратим внимание, что при $ \alpha_2 = 90^o $ основное эхо максимально, а дополнительное не наблюдается вообще. Можно подобрать такие длительности импульсов, что будут наблюдаться все шесть сигналов эхо (Рис.2).

До сих пор мы считали, что параметр асимметрии тензора ГЭП $ \eta=0 $. Для $ \eta\ne 0 $ положение сигнала основного эха при $ t=2\tau $ не зависит от $ \eta $, тогда как сигналы дополнительного и
запрещённого эха сдвигаются:

$$
\omega_0: \ \ \ 2\tau, \ \ \
t=\left(3-\frac{70}{27}\eta^2\right)\tau, \ \ \
t=\left(4-\frac{70}{27}\eta^2\right)\tau
$$
$$
2\omega_0: \ \ 2\tau, \ \ \
t=\left(\frac32+\frac{35}{54}\eta^2\right)\tau, \ \ \
t=\left(\frac52+\frac{35}{54}\eta^2\right)\tau
$$

Видно, что для перехода $ \pm 1/2 \leftrightarrow \pm 3/2 $ влияние параметра асимметрии на положение сигналов эха более существенно, чем для $ \pm 3/2 \leftrightarrow \pm 5/2 $.

Аналогичные результаты могут быть получены и для других значений спина ядра.

Момент возникновения эха t в общем случае может быть определён выражением

$ <br />
\frac{t-\tau}{\tau}=\frac{m_2^2-m_1^2}{2|m|+1}.<br />
 $

$ |m| $ - характеризут сам переход и его частоту, $ m_1 $ и $ m_2 $ - характеризуют волновые функции примешивающихся к основному состоянию под действием радиочастотного импульса.

Для $ I=5/2 $

$$
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
 Переход & $|m|$ & $m_1$ & $m_2$ & $\Delta m$ & $\ \ \ t \ \ $ \\
\hline
 & &$\pm 1/2$&$\pm 3/2$&$\pm 1$&$2\tau$\\
$\pm 1/2 \leftrightarrow \pm 3/2$&$1/2$&$\pm 3/2$&$\pm 5/2$&$\pm 1$&$3\tau$\\
  &   &$\pm 1/2$&$\pm 5/2$&$\pm 2$&$4\tau$\\
\hline
\end{tabular}
$$
$$
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
 & &\pm 3/2&\pm 5/2&\ \pm 1 \ &2\tau\\
\pm 3/2 \leftrightarrow \pm 5/2 & 3/2 & \pm 1/2 & \pm 3/2 & \pm 1 & 3/2\tau \\
  &   & \pm 1/2 & \pm 5/2 & \pm 2 & 5/2 \tau \\
\hline
\end{tabular}
$$