Энергия квадрупольных взаимодействий

NQR-fig-5-1.jpg
Рис. 1.

Ядро обладает квадрупольным моментом $ Q \neq 0 $, если спин ядра $ I \geq 0 $. Квадрупольное ядно не является сферически симметричным, а вытянуто ($ Q > 0 $) или сплюснуто ($ Q < 0 $) вдоль оси вращения.

Электронная оболочка, окружающая ядро, создаёт в месте расположения ядра электрический потенциал $ V $. Энергию взаимодействия квадрупольного момента ядра с этим потенциалом можно записать в виде:

$ W_Q=\int\rho V d\tau $

где $ \rho $ – плотность заряда на ядре.

Введём xyz - система координат $ xyz $, связанную с главными осями тензора ГЭП и систему координат $ x'y'z' $, связанную с ядром.
Разложим потенциал в ряд Тейлора:

$$<br />
\begin{align}<br />
V=V_0 &+ \left(\frac{\partial V}{\partial x'}\right)_0 x' + \frac 12<br />
\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x'^2}\right)_0 x'^2 + ... \\<br />
& + \left(\frac{\partial V}{\partial y'}\right)_0 y' + \frac 12<br />
\left(\frac{\partial^2 V}{\partial y'^2}\right)_0 y'^2 + ... \\<br />
& + \left(\frac{\partial V}{\partial z'}\right)_0 z' + \frac 12<br />
\left(\frac{\partial^2 V}{\partial z'^2}\right)_0 z'^2 + ...<br />
\end{align}<br />
$$
и, ограничившись первыми двумя членами разложения b подставив в выражение для энергии $ W_Q $, получим:

\[ 
$W_Q=\frac 14 e^2Q^*q_{z’z’}$
 \](1)

Здесь введены обозначения:

$$<br />
eq_{x’x’}=\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x'^2}\right)_0, \qquad<br />
eq_{y’y’}=\left(\frac{\partial^2 V}{\partial y'^2}\right)_0, \qquad<br />
eq_{z’z’}=\left(\frac{\partial^2 V}{\partial z'^2}\right)_0,	<br />
$$

$$
eQ^*_{x’x’}=\int\rho x’^2 d\tau, \qquad
eQ^*_{y’y’}=\int\rho y’^2 d\tau, \qquad
eQ^*_{z’z’}=\int\rho z’^2 d\tau,	
$$

$  eQ^*=2 eQ^*_{z’z’}- eQ^*_{x’x’} - eQ^*_{y’y’} $ – скалярный квадрупольный момент, определяющий анизотропию тензора квадрупольного момента; а также учтено, что

1) поскольку $ \rho $ – чётная функция, то

$ \int\rho x’ d\tau =0, \qquad \int\rho y’ d\tau =0, \qquad \int\rho z’ d\tau =0 $,

2) распределение заряда в ядре аксиально симметрично $ eQ^*_{x’x’}= eQ^*_{y’y’} $;

и предполагается, что

1) выполняется уравнение Лагранжа $ \rho(0)=0 $, и тогда $ q_{x’x’}+ q_{y’y’}+ q_{z’z’}=0 $;

2) тензор ГЭП аксиально симметричен $ q_{x’x’}=q_{y’y’} $.

Напомним также, что компоненты тензора ГЭП определены следующим образом: $ |q_{z’z’}| \leq |q_{y’y’}| \leq |q_{x’x’}| $.

Отметим, что выражение (1) получено для системы координат, связанной с ядром, что не удобно. Для практического использования необходимо перейти с помощью преобразования

$ \hat A’ = \hat T^{-1} \hat A \hat T $,

($ T $ – матрица поворота вокруг оси $ y $) в систему координат $ xyz $, связанную с кристаллом. Тогда имеем:

\[ 
W_Q=\frac 18 e^2Q^*q_{zz}(3 \cos ^2 \theta -1).
 \](2)

Вводя понятие магнитного квантового числа $ m = 2I +1, ..., 2I - 1 $, и подставив в (2) выражение для $ \cos ^2 \theta $, полученного из принципа пространственного квантования

$$<br />
\cos ^2 \theta = \frac{m^2}{I(I+1)},<br />
$$

а также вводя понятие средней величины квадрупольного момента ядра
$$<br />
eQ^*= \frac{2eQ(I+1)}{2I-1},<br />
$$
окончательно получаем выражение для энергии квадрупольного взаимодействия:
\[ <br />
W_Q = \frac{e^2Qq_{zz}}{4I(2I-1)}(3m^2-I(I+1)).<br />
 \](3)

Очень часто, индекс $ zz $ при $ q $ опускают.